En muchas aulas, el primer contacto con la geometría se reduce a triángulos, rectas y ángulos. Lo que pocas personas imaginan es que esa disciplina puede llegar a ser tan poderosa como para intentar describir las leyes que rigen todo el universo. Eso es precisamente lo que exploran Claudia Fevola y Anna-Laura Sattelberger, dos matemáticas jóvenes cuyas trayectorias confluyen en un mismo objetivo. Este objetivo no es otro que crear un nuevo lenguaje matemático que conecte lo más pequeño —las partículas subatómicas— con lo más grande: la evolución del cosmos.
Ambas autoras, desde instituciones científicas de referencia como Inria Saclay y el Instituto Max Planck de Matemáticas en las Ciencias, han firmado un trabajo ambicioso publicado en la revista Notices of the American Mathematical Society. En él no se ofrece un descubrimiento experimental, sino algo quizá aún más radical: una propuesta teórica basada en geometría algebraica y geometría positiva que podría servir para reformular procesos fundamentales de la física. Lo que está en juego es la posibilidad de usar un marco matemático común para estudiar fenómenos que van desde colisiones de partículas hasta las estructuras del universo temprano.
Un nuevo lenguaje para unir escalas
La geometría positiva, uno de los conceptos centrales del trabajo, no es una simple curiosidad académica. Es una construcción matemática con potencial para convertirse en una herramienta de unificación en física teórica. Inspirada en objetos como el amplituedro —una figura geométrica multidimensional desarrollada en física de partículas para simplificar cálculos de dispersión—, esta nueva geometría ofrece formas de representar interacciones físicas como volúmenes dentro de estructuras matemáticas complejas.
Fevola y Sattelberger señalan que estas geometrías permiten “codificar naturalmente la transferencia de información entre sistemas físicos” y subrayan que esta capacidad refleja “cómo los humanos comprenden metafóricamente el mundo” . A través de estas estructuras, se podrían analizar tanto las partículas que colisionan en un acelerador como los patrones de la radiación cósmica de fondo.
Este enfoque tiene una ambición clara, es decir, trascender la fragmentación de las teorías físicas y acercarse a una visión unificada. La geometría positiva, al representar fenómenos físicos mediante formas y relaciones geométricas, puede actuar como puente entre teorías actualmente desconectadas, como la física cuántica y la cosmología.
Las herramientas del análisis algebraico
Para desarrollar esta visión, las autoras recurren a un arsenal técnico sofisticado. Entre las herramientas utilizadas se encuentra la geometría algebraica, que estudia soluciones de sistemas de ecuaciones polinómicas; la combinatoria, que analiza la estructura de objetos matemáticos discretos; y los llamados D-módulos, que permiten tratar ecuaciones diferenciales desde un punto de vista algebraico.
Uno de los puntos clave es el uso de integrales de Feynman, que se emplean en física de partículas para calcular probabilidades de eventos como la dispersión de partículas. Estas integrales pueden reformularse usando geometría algebraica: por ejemplo, al estudiar polinomios de grafos que representan los diagramas de Feynman, se descubren conexiones con variedades algebraicas y con transformadas de Mellin.
Fevola y Sattelberger explican que "las integrales de Feynman están estrechamente relacionadas con integrales de Euler generalizadas" y que estas, a su vez, pueden restringirse a subespacios geométricos relevantes. Este enfoque permite pasar del mundo físico al matemático y viceversa, conservando información esencial para el análisis teórico.
Este entrelazamiento entre estructuras algebraicas y fenómenos físicos muestra que la matemática no solo sirve como herramienta para la física, sino también como espacio conceptual desde el cual repensarla.
Geometrías del universo
Más allá de las partículas, las mismas herramientas se aplican en cosmología. Aquí, la atención se centra en estructuras como los poliedros cosmológicos, que son también ejemplos de geometrías positivas. Estos objetos permiten modelar correlaciones en la radiación cósmica de fondo y reconstruir, a partir de ellas, las leyes físicas que rigieron el universo primitivo.
El potencial de esta propuesta se revela especialmente cuando se examina su capacidad para representar correlaciones complejas de forma compacta y precisa. En palabras de las autoras, estas geometrías podrían facilitar cálculos que normalmente son complejos, abriendo caminos para describir las condiciones iniciales del universo a partir de su huella en el presente.
Este uso de la geometría como lenguaje físico puede parecer abstracto, pero en realidad conecta con una intuición poderosa: que las formas, proporciones y estructuras espaciales no son solo figuras, sino manifestaciones profundas de las leyes de la naturaleza.
Además, la idea de que un mismo marco geométrico pueda describir tanto fenómenos microscópicos como estructuras macroscópicas es una de las aspiraciones centrales de la física teórica moderna.
Una teoría en construcción
Lejos de ser un campo cerrado, la geometría positiva está en plena construcción. Fevola y Sattelberger reconocen que se trata de una disciplina joven, con muchos elementos aún por desarrollar y validar. En sus palabras: “La geometría positiva todavía es un campo joven, pero tiene el potencial de influir significativamente en la investigación fundamental en física y matemáticas”.
Esto no significa que estemos ante una teoría especulativa sin dirección, sino ante una línea de trabajo que se nutre de colaboraciones activas y avances concretos. Ya existen vínculos entre grupos de investigación en matemáticas, física de partículas y cosmología que están explorando estas herramientas en contextos diversos.
Lo relevante aquí no es tanto haber alcanzado una solución definitiva, sino haber establecido un marco con poder explicativo y capacidad para generar nuevas preguntas. Es el tipo de avance que transforma lentamente una disciplina al ofrecer una perspectiva completamente nueva.
Geometría, armonía y el recuerdo de Kepler
La idea de que el universo pueda explicarse mediante formas geométricas no es nueva. En el siglo XVII, Johannes Kepler propuso que los planetas giraban en órbitas determinadas por sólidos perfectos, como el cubo o el dodecaedro. En su obra Harmonices Mundi, imaginó que la distancia entre los planetas seguía una lógica similar a la armonía musical, como si el sistema solar fuera una especie de partitura matemática escrita por las leyes divinas.
Aunque aquellas ideas hoy resultan inexactas o místicas desde el punto de vista científico, su intuición de que el cosmos podía tener una estructura geométrica no estaba del todo desencaminada. De hecho, su influencia marcó una tradición duradera: la búsqueda de orden y simetría como principio explicativo en física y matemáticas.
Sin embargo, el trabajo de Claudia Fevola y Anna-Laura Sattelberger no pertenece a ese registro simbólico ni metafísico. No se trata de una especulación filosófica, sino de una propuesta matemática rigurosa, basada en herramientas como la geometría algebraica, la teoría de D-módulos o las variedades afines. El hecho de que los objetos utilizados —como el amplituhedro o los poliedros cosmológicos— tengan formas visualmente atractivas no implica que se basen en una visión esotérica del universo, sino que reflejan relaciones precisas entre cantidades físicas.
Así, si bien las nuevas geometrías pueden evocar armonías visuales que recuerdan vagamente a Kepler, su fundamento es radicalmente distinto. Se trata de modelos matemáticos formales diseñados para representar datos, calcular probabilidades o explorar correlaciones observables. No buscan imponer un orden estético al universo, sino descubrir el lenguaje que lo describe con exactitud.
Una frontera entre matemáticas y física
En el fondo, lo que está en juego es algo más que una nueva herramienta de cálculo. La propuesta de Fevola y Sattelberger apunta a una convergencia entre lenguajes matemáticos abstractos y teorías físicas fundamentales. En lugar de depender de aproximaciones fragmentadas, esta nueva geometría intenta ofrecer un “idioma común” para fenómenos que hasta ahora se han tratado por separado.
Este tipo de trabajo invita a reconsiderar el papel de las matemáticas en la exploración del universo. Ya no solo como instrumento, sino como posible estructura base de la realidad física. El camino será largo, y muchas piezas faltan todavía. Pero si algo demuestra este trabajo es que hay ideas con capacidad de transformar cómo se entienden las leyes del universo.
Referencias
- Claudia Fevola, Anna-Laura Sattelberger, Algebraic and Positive Geometry of the Universe: From Particles to Galaxies, Notices of the American Mathematical Society (2025). https://doi.org/10.1090/noti3220.
