Momentos "Eureka" decisivos en la historia de la Física

En el siglo III a.C., Herón II, rey de Siracusa, requirió del sabio Arquímedes (287-212 a. C.) que determinase si la preciosa corona que había encargado a su orfebre (tras proporcionarle el oro necesario para elaborarla) era realmente de oro puro. El peso de la corona coincidía con el peso del oro entregado, pero Herón albergaba la sospecha de que el orfebre pudiese haber reemplazado parte del mismo por plata, menos valiosa (y de menor densidad, como es sabido). Obviamente la corona no debía sufrir daño alguno durante la prueba a realizar. Cuenta la leyenda que Arquímedes intentó en vano encontrar la solución durante algún tiempo.

Hasta que un día, mientras tomaba un baño, se dio cuenta de repente que el agua que desplazaba al sumergirse, y se derramaba por los bordes de la bañera, correspondía exactamente al volumen de su propio cuerpo. Supo enseguida que ¡había encontrado la solución al encargo del rey! Afirman que exclamó entusiasmado: “Eureka.” Sin tiempo de vestirse, corrió desnudo por las calles a ver al rey para comunicarle la noticia, mientras iba repitiendo sin cesar la palabra mágica. 

En su presencia, llenó de agua una vasija, hasta el borde, e introdujo en ella la corona, midiendo la cantidad de agua desplazada. Repitió el procedimiento con una masa de oro igual a la que el rey había proporcionado al orfebre. La cantidad de agua desplazada por la corona fue superior a la derramada por el oro, lo que demostró con claridad que Herón había sido estafado por su orfebre. 

No es este lugar para remarcar la extraordinaria importancia del principio de Arquímedes, ni de sus múltiples y archiconocidos descubrimientos en física, matemáticas e ingeniería. Hoy es considerado como uno de los genios más ilustres de toda la antigüedad.

Eratóstenes y su determinación del tamaño de la Tierra

A Eratóstenes (276-194 a. C.) se le suele asignar el título de padre de la geodesia. Meridiano, paralelo, longitud y latitud, son conceptos que introdujo; creó el primer mapamundi y calculó con precisión la inclinación del eje de la Tierra. Fue contemporáneo de Arquímedes (nació antes y murió después de este) y se sabe que fueron amigos. Entre los matemáticos, es muy conocido por su famosa criba de los números primos. En 236 a. C., Ptolomeo III le puso a cargo de la famosa Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días. No puede afirmarse que tuviese un momento “Eureka” muy claro, pero su extraordinario cálculo de la medida de la circunferencia terrestre, que llevó a cabo sin necesidad de salir de su biblioteca, le avala para ser colocado en esta lista.

Su momento más feliz (el más próximo a un “Eureka”) fue, sin duda, aquel en que dio con un papiro en el que se describía que, en Siena (actual Asuán), al mediodía del solsticio de verano los rayos solares no proyectaban sombra alguna dentro de un profundo pozo que había en aquella ciudad, situada al sur de Alejandría. En ese momento, el Sol se hallaba justo en su cenit. Llegado el día correspondiente del siguiente año, Eratóstenes midió, en Alejandría, el ángulo proyectado por la sombra de un palo vertical, y encontró que allí correspondía a 7,2°, lo que representa 1/50 parte de la circunferencia completa. Hizo entonces la suposición de que la Tierra era esférica (como el Sol y la Luna) y también de que Siena se hallaba exactamente al sur, en el mismo meridiano (ahí cometió un ligero error, pues la diferencia entre sus longitudes es de 3^o). Además, como el Sol está muy lejos, dio por hecho que sus rayos incidían paralelamente sobre ambas ciudades; concluyendo por último que, para resolver su problema, le bastaba con averiguar la distancia que mediaba entre una y otra.

Se dice que, a tal fin, pagó de su bolsillo a varios bematistas egipcios —que hacían la ruta del sur acompañando a las caravanas— para que midiesen dicha distancia con precisión, y que más tarde calculó el promedio de los resultados. Los bematistas eran contadores de pasos profesionales. Los más famosos son los que iban en los ejércitos de Alejandro Magno, efectuando mediciones muy precisas de las distancias recorridas en sus largas campañas. Eran mediciones tan precisas que se ha sugerido que debieron usar necesariamente algún tipo de odómetro, aunque no se ha hallado ninguna mención directa de tal dispositivo. Aunque, de hecho, tal distancia figuraba ya en otros papiros de la biblioteca: era de 5.000 estadios (por lo que quizás solo quiso asegurarse de que dicho valor era el correcto). Concluyó entonces que la circunferencia terrestre media 250.000 estadios. 

Hay una controversia, todavía no resuelta, sobre la equivalencia del estadio en metros. Si Eratóstenes empleó el estadio ático-italiano de 184,8 m (que solían usar los griegos de Alejandría), el error cometido fue de un 15 %. Pero hay quienes defienden que de hecho usó el estadio egipcio, siendo fiel a las unidades empleadas localmente (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia calculada fue de 39.614 km, frente a los 40.008 km actuales, cometiendo así un error increíblemente pequeño ¡de menos del 1%!

Tuvieron que transcurrir muchos siglos hasta que un cálculo tan genial y adelantado a su tiempo fuese debidamente entendido y apreciado. Junto con el caso precedente, hoy constituyen dos ejemplos excepcionales y paradigmáticos de lo que es la Ciencia y los científicos/as. Los que seguirán a continuación corresponden a ulteriores hitos que jalonaron la construcción, paso a paso, de la ciencia moderna desde sus orígenes.

Salviati (alter ego de Galileo) navegando por el Arno: el día en que nació la física moderna

Galileo Galilei (1564-1642) es considerado con razón el fundador de la ciencia moderna. Fue el primero en formular el principio de relatividad, también llamado de covariancia. Expresa, pura y simplemente, el hecho mismo de que tiene sentido hablar de leyes de la física; es decir, que tales leyes existen, no cambian, son inmutables, cuando nos trasladamos a cualquier otro lugar del universo e incluso si nos montamos sobre un vehículo que se desplaza en línea recta y a velocidad constante. A esto se le llama un sistema inercial: en ausencia de fuerzas que actúen sobre él, permanecerá siempre igual, indefinidamente.

Galileo, en su famoso libro de 1632 "Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo", expresó de manera magistral este principio. Lo hizo coloquialmente, en boca de Salviati, su alter ego, cuando propone (en el segundo de los cuatro días de diálogos) el siguiente experimento:

“Encerraos con un amigo en la cabina principal, bajo la cubierta de un barco más bien grande, y llevaos con vosotros moscas, mariposas y otros pequeños animales voladores. Colgad del techo una botella con agua, para que se vaya vaciando, gota a gota, en un amplio recipiente situado debajo. Haced que el barco se desplace de manera uniforme, sin fluctuaciones en un sentido u otro. Veréis caer las gotas en el recipiente, sin desviarse a popa, aunque el barco haya avanzado mientras las gotas todavía estaban en el aire. Las mariposas y moscas seguirán con su vuelo habitual, de un lado a otro, como si nunca se cansaran de seguir el ritmo de la nave, por rápido que sea. Y jamás se concentrarán a popa.”

Es una descripción precisa y preciosa del principio de relatividad. Quede bien claro, las leyes de la física no cambian, pero sí que lo hace la descripción de lo que sucede, dependiendo de la referencia en que nos situemos. Entender este punto es fundamental: la ley física, formulada en términos de una ecuación diferencial, es invariable, como la propia ecuación, es la misma en todas partes. Pero, al situarnos en un sistema de referencia u otro, las condiciones iniciales cambian y, con ello, la descripción de lo que ocurre en nuestro entorno. Esta descripción debe modificarse —aplicando una transformación de lo que ahora se conoce como el grupo de Galileo— para pasar del sistema de referencia situado en tierra firme al sistema de referencia fijado al barco, o viceversa. En este último, el barco permanece inmóvil, y es el mar a su alrededor y el puerto del que zarpó los que se desplazan. De ahí el nombre de relatividad: la descripción desde cada sistema de referencia es distinta, aunque la ley física, la esencia, es la misma.

Einstein extendió ampliamente este concepto, de forma radical, ya que al hacer uso de la constancia de la velocidad de la luz, c, llegó a la inverosímil conclusión de que el espacio y el tiempo son también relativos: sus valores dependen del sistema de referencia en el que nos situamos. Aquí el cambio de paradigma fue ciertamente brutal, como veremos más adelante. Pero lo cierto es que Galileo ya había abierto el camino a todo lo que vendría después: fue en ese preciso instante, con este concepto tan actual y avanzado a su época —extendido y generalizado por Albert Einstein casi 400 años más tarde— cuando nació la Física de nuestro tiempo. Galileo hizo otras contribuciones importantes, algunas mucho más famosas y populares entre el gran público. Dejó caer bolas diversas y de masas diferentes desde la Torre de Pisa y comprobó que llegaban al mismo tiempo al suelo, desmontando la idea aristotélica de que los objetos caen más rápidamente si son más pesados. Con planos inclinados, midió aceleraciones constantes y demostró que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, en ausencia de fricción. Construyó un telescopio y observó con él cuatro satélites de Júpiter que daban vueltas en torno al planeta. Dando así la razón a Copérnico: la Tierra dejó de ser el centro del Universo, lo que le acarreó graves problemas con la Iglesia. Pero todos estos descubrimientos, por importantes que sean, palidecen frente al mencionado del principio de covariancia, que condujo a las primeras leyes del movimiento, precursoras de las de Newton. Le faltaban conocimientos de matemáticas, pese a que él mismo proclamó que ese era el lenguaje en el que estaban escritas las leyes de la naturaleza. Galileo utilizó casi exclusivamente la geometría para hacerlo. Steven Weinberg opinaba que, si hubiera utilizado más el álgebra, en lugar de la geometría, Galileo habría llegado aún mucho más lejos.

La relatividad galileana es la más simple de todas las teorías relativistas. Galileo se limitó a expresarla, aunque de manera esmerada, con palabras sencillas acordes con su tiempo, no con ecuaciones. Pero, hace cincuenta años, Jean-Marc Lévy-Leblond rescató de manera sistemática la relatividad galileana, formulándola matemáticamente de manera totalmente similar a la relatividad especial de Einstein. Y el presente autor, en su tesis de doctorado, partiendo de esas ideas consiguió conectar en ambos sentidos, basándose en la teoría de los grupos de Lie de las respectivas transformaciones —y utilizando técnicas de contracción y dilatación de grupos en dimensiones cambiantes— el grupo de Galileo con los de Lorentz y de Poincaré. En su versión actualizada, la relatividad de Galileo, como avanzada precursora de las teorías relativistas de Einstein, ha seguido dando mucho juego.

Newton, una manzana, … y la gravitación universal

Durante la peste de 1665, Isaac Newton se retiró a su casa en Woolsthorpe. Un día al atardecer, mientras descansaba en su jardín, se fijó en una manzana que caía sobre la hierba. Al fondo, podía ya contemplarse la Luna, que se iba elevando lentamente sobre el horizonte. De pronto, Newton se preguntó si la fuerza con que la Tierra atraía a la manzana no sería la misma que la que atrapaba a la Luna, no dejándola escapar y obligándola a dar vueltas y más vueltas; en un equilibrio de fuerzas perdurable, ad infinitum.

Aquel instante (si es que la escena tuvo lugar en realidad) fue, sin lugar a dudas, su momento Eureka: tuvo la idea crucial de que era la misma fuerza la que actuaba en ambos casos. Newton unificó de golpe los movimientos celestes y terrestres bajo un mismo principio: su ley de gravitación universal cuya repercusión fue, como todos sabemos, extraordinaria. Se trata de una ley de aspecto muy simple: F = G M m / r², fórmula en que aparece su constante de proporcionalidad, G, una de las más importantes de la naturaleza. 

Complementándola con sus tres leyes de la dinámica —en particular, la famosa expresión de la segunda ley: F = m a— que extendieron las observaciones previas de Galileo —y a las que dio su aspecto definitivo por medio de su otro gran invento, el cálculo infinitesimal— Newton construyó el sólido armazón de la mecánica clásica. Una obra de importancia excepcional y que perdurará siempre. La mecánica newtoniana se demostró capaz de predecir órbitas planetarias, trayectorias de proyectiles, y de cubrir tantísimas necesidades de técnicos, arquitectos e ingenieros.

La universalidad de las leyes de Newton se mantuvo intacta durante varios siglos. Hasta el advenimiento, hace cien años, de las grandes revoluciones de la Física, que las corrigieron drásticamente a grandes velocidades y a pequeñas distancias. Pero, aún en nuestros días, dentro de su amplísimo dominio de validez, siguen siendo enormemente útiles, sin haber perdido ni un ápice de su valor.

Ludwig Boltzmann: su no-momento Eureka y una fórmula excepcional (constante universal incluida)

Toda regla tiene su excepción. En el tema que nos ocupa, ha habido algunos descubrimientos extraordinarios sin su correspondiente momento Eureka. Y algunos han comportado incluso grandes tribulaciones a sus autores, fruto de la incomprensión persistente de sus colegas, que se mofaron de sus revolucionarias teorías. Es muy conocido el caso de Georg Cantor y su teoría del infinito; como también el de Ludwig Boltzmann, en su intento de resolver la importante cuestión: ¿cómo surgen las leyes de la termodinámica (de Clausius) a partir del comportamiento de los átomos? 

Su revolucionaria idea fue establecer cómo el movimiento de los átomos y su interacción mutua determinan las propiedades macroscópicas de la materia (presión, viscosidad, conductividad térmica, etc.). Su trabajo era una aproximación completamente nueva al tratamiento de grandes conjuntos de partículas. Durante años, este enfoque fue sistemáticamente rechazado por sus contemporáneos, quienes consideraban que las leyes fundamentales de la naturaleza, como el segundo principio de la termodinámica, no podían tener una interpretación estadística, que echaba por tierra su carácter determinista. 

Entre los detractores de Boltzmann se contaban muy reputados colegas, como Wilhelm Ostwald, Ernst Mach y el mismísimo Max Planck. Concluían todos ellos que su aproximación (fundamentar la termodinámica en la mecánica) carecía por completo de sentido. Boltzmann replicaba que, por el contrario, ese era el camino a seguir en adelante, ya que demostraba claramente que la segunda ley de la termodinámica, la de la entropía, era de hecho una ley estadística y que, por ello, admitía fluctuaciones que se apartaban de la media y daban lugar a comportamientos diferentes a los previstos por una ley determinista. Y era eso lo que se ajustaba a la realidad. El único motivo por el que no se observaba una violación de la segunda ley de la termodinámica a nivel macroscópico era, que resulta extremadamente improbable que los trillones de partículas que constituyen un sistema macroscópico colaborasen, a la vez, en un mismo sentido. Ahora eso lo vemos más claro que el agua, pero no era así hace 130 años.

En 1891, en una conferencia en Halle, al replicar a un intento de Ostwald y Planck por convencerle de la superioridad de los métodos puramente termodinámicos sobre los atomistas, Boltzmann llegó a afirmar textualmente: “No veo ninguna razón por la cual habría que excluir la posibilidad de que la energía deba ser considerada también como dividida atómicamente”. Es quizá lo más cerca que estuvo de un impresionante momento Eureka, ya que con esta reflexión anticipaba con claridad la genial idea que dio origen a la física cuántica: los sistemas intercambian energía de forma discreta, no continua. 

Ya en 1900, en un “acto de desesperación” contrario a su propia lógica, que hasta entonces había defendido a capa y espada, Planck se vio impelido a utilizar los métodos estadísticos de Boltzmann para resolver el problema del espectro del cuerpo negro, en el que fue el trabajo fundacional de la mecánica cuántica. De repente, Planck pasó a ser uno de los más firmes defensores de los métodos de Boltzmann y fue él quien de hecho escribió, en la forma en que se la conoce actualmente, la relación de proporcionalidad tozudamente defendida por Boltzmann entre la entropía, S, de un sistema y el número de formas de ordenación posibles (microestados), W, de sus átomos constituyentes: S = k ln W. A la constante de proporcionalidad, k, que Planck introdujo al escribir la fórmula, no dudó en denominarla “constante de Boltzmann” (Fig. 5). Boltzmann había dado sentido al segundo principio de la termodinámica desde una perspectiva estadística, construyendo un puente importantísimo entre el mundo cuántico y el macroscópico. Y la constante k pasó a situarse, junto a la de Newton, como una de las constantes fundamentales de la naturaleza.

Boltzmann se quitó la vida en 1906. Se ahorcó durante unas vacaciones en Duino, cerca de Trieste, posiblemente influido por el pertinaz rechazo a sus ideas, tan avanzadas a su época, por parte de la comunidad científica. Una vez escribió: “La filosofía me pone de los nervios. Si analizamos el fundamento último de todo, entonces todo cae finalmente en la nada.” En su lápida, en el cementerio de Viena, está grabada su tan famosa fórmula. Poco después de su muerte, en el mismo año 1906, Albert Einstein publicó su celebrado artículo sobre el movimiento browniano, en el que utilizó métodos de la mecánica estadística, contribuyendo así decisivamente a la aceptación de los átomos como entidades con existencia real y en los que basar la nueva física. 

Mencionar aún que, como parte de la redefinición de las unidades del SI, que tuvo lugar en 2019, la constante de Boltzmann pasó a ser una de las siete “constantes universales definitorias” de la Física, que se constituyen en los pilares fundamentales de la misma. Y es también obligado a añadir, para terminar, que Claude Shannon trasladó más tarde, mutatis mutandis, la fórmula y métodos de Boltzmann a su teoría de la información, de enorme influencia en la actualidad. Y de dónde ha saltado a las teorías de cuerdas, a la formulación termodinámica de la estructura de los agujeros negros (Beckenstein-Hawking), etc. Todo ello ha situado finalmente a las geniales ideas de Boltzmann en el mismísimo centro de la discusión científica actual, entre las ideas más fructíferas de la física fundamental de nuestro tiempo.

Planck en un “momento de total desesperación”: el mundo cuántico

En diciembre de 1900, Planck estaba trabajando en un problema que traía de cabeza a muchos físicos: la radiación del cuerpo negro. La física clásica no podía explicar, de manera correcta, en todo el rango de frecuencias, cómo los cuerpos emiten radiación térmica. Había una fórmula empírica (la de Wien) que funcionaba muy bien a frecuencias elevadas, pero se desviaba claramente del comportamiento experimental en el infrarrojo; y otra (la de Rayleigh-Jeans) que se ajustaba extraordinariamente bien en este rango de bajas frecuencias, pero fallaba estrepitosamente en el ultravioleta, lo que era conocido como la famosa "catástrofe del ultravioleta".

Buscando una solución a tan intrigante problema, Planck se vio obligado a recurrir a lo que en principio (y durante bastante tiempo todavía) consideró como un mero “truco matemático”. Con el fin de ajustar la parte correcta de las dos curvas, efectuando una interpolación entre las mismas, sustituyó una integral por una serie geométrica discreta. Desde el punto de vista de la física que había tras la fórmula, eso equivalía a tener que asumir la propuesta radical de que los osciladores del campo electromagnético pudieran tener tan solo energías discretas. La energía de radiación emitida por los osciladores debía estar cuantizada; no era pues emitida de manera continua, sino en pequeños paquetes discretos, o cuantos: E = h f_E. La energía de los osciladores era proporcional a la frecuencia de la radiación y múltiplo siempre de un mínimo valor posible, o cuanto, h, un valor constante fundamental (que hoy conocemos como la constante de Planck). Aquel fue, como el propio Planck reconoció, un momento Eureka excepcional, realmente histórico (Fig. 7).

El día 14 de diciembre del año 1900, Planck presentó su solución al importante problema a la Sociedad Física de Berlín, dejando estupefactos a todos sus colegas [5]. Por la noche, al llegar a casa, buscó a su hijo Erwin y le dijo: “Creo que hoy he hecho un descubrimiento tan importante como el de Newton.” Preciso es decir que Planck no era una persona dada a exageraciones, pero al poder reconciliar de manera tan precisa y elegante ambos comportamientos, en un problema tan fundamental como es el espectro de emisión de un cuerpo negro, estaba de hecho convencido de que había dado con algo muy profundo. Aunque no era capaz de comprender el significado físico de su hallazgo y no podía todavía imaginar que había prendido una chispa que cambiaría la física radicalmente y para siempre. Como ya se ha dicho antes, Planck no era cuántico por convicción, sino todo lo contrario. Había combatido ferozmente a Boltzmann durante años y su obcecación ¡le impedía todavía aceptar las implicaciones físicas de su propia formulación de la solución al problema!

Según confesó siempre, Planck construyó su fórmula “a regañadientes” en un “acto de total desesperación”, y como una mera interpolación matemática. No le atribuyó un significado físico real, no creía que la energía estuviera realmente cuantizada. Fue Einstein el primero en afirmar, ya en 1905, que aquel procedimiento reflejaba fielmente la realidad física, que era un hecho cierto que: “La energía se emite en cuantos. Y la luz también.” En aquel mismo momento, Boltzmann fue, a su vez, completamente reivindicado.

Albert Einstein cabalgando sobre un rayo de luz

Cuando tenía 16 años, Albert Einstein se imaginó a sí mismo persiguiendo a un rayo de luz en el vacío del espacio. Durante varios años, fue volviendo sobre aquella visión, preguntándose qué ocurriría exactamente si lograse alcanzar, de hecho, la velocidad de la luz:  

“Una paradoja que descubrí a los dieciséis años: si sigo un rayo de luz yendo a su misma velocidad, c, debería ver a dicho rayo como un campo electromagnético en reposo, aunque oscilando espacialmente. Sin embargo, no parece que exista tal concepto. En esa paradoja ya se hallaba el germen de la teoría de la relatividad especial. Hoy sabemos que los intentos de aclarar la paradoja de manera satisfactoria iban a estar todos condenados al fracaso, mientras axiomas como el carácter absoluto del tiempo, o el de la simultaneidad, permaneciesen tan arraigados en nuestro subconsciente. Reconocer con claridad que estábamos usando siempre estos axiomas, y su carácter arbitrario, implicó ya que teníamos lo esencial para la resolución del problema. Poco a poco, fui perdiendo la esperanza de descubrir las verdaderas leyes mediante esfuerzos constructivos basados en ‘hechos bien conocidos’. Cuanto más lo intentaba, más me convencía de que tan solo el descubrimiento de un principio formal universal podría conducir a resultados seguros.”

Bien puede afirmarse que para Einstein aquel fue un momento Eureka valiosísimo. Como él mismo reconoció, la paradoja referida le condujo a abandonar a partir de entonces el carácter absoluto del tiempo y del espacio (tales eran, en este caso, los ‘hechos bien conocidos’ a que se refiere en esta cita), lo que le llevó de la mano hasta la formulación de la relatividad especial, en 1905. Fue también otro de sus tan famosos experimentos mentales —a los que Einstein se refería como Gedankenexperimente— el que más tarde le condujo a la formulación de su teoría general de la relatividad (su segundo momento Eureka, lo veremos luego). Y experimentos de este mismo tipo siguen nutriendo la esencia de la física actual, especialmente en el campo de la mecánica cuántica.

Poniendo manos a la obra, tras haber establecido la manera de proceder, Einstein formuló la teoría especial de la relatividad como una teoría basada en dos postulados asombrosamente simples:

1.-Las leyes de la física adoptan la misma forma en todos los sistemas inerciales.

2.-En cualquier sistema inercial, la velocidad de la luz, c, es la misma, con independencia de si la luz es emitida por un cuerpo en reposo o por un cuerpo en movimiento uniforme. 

El primer postulado no es más que el principio de covariancia de Galileo. Puede parafrasearse diciendo que afirma la existencia de leyes universales de la física. El segundo postulado es de naturaleza empírica, fruto de observaciones experimentales precisas que afirman su validez. 

Un éxito extraordinario de Einstein fue la deducción que hizo, en uno de sus famosos artículos de 1905: “Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento”, de las transformaciones de Lorentz a partir de estos dos simples postulados. Las fórmulas de Lorentz y de Poincaré ya venían siendo utilizadas desde hacía varios años. Lo que Einstein demostró brillantemente es que tales expresiones no eran otra cosa que la formulación matemática precisa del hecho fundamental de que la constancia de la velocidad de la luz implicaba que el tiempo y el espacio ¡debían ser necesariamente relativos! He aquí la esencia más pura de la teoría de la relatividad especial, deducida a partir de dos principios universales increíblemente simples. Con ellos dio forma explícita a su convencimiento más profundo, expresado literalmente en la última frase de su cita de más arriba.

La demostración la llevó a cabo como sigue. El objetivo era encontrar la relación explícita entre las coordenadas (x,y,z,t) correspondientes a un sistema inercial, S, y las coordenadas (x′,y′,z′,t′) de otro sistema inercial, S′, que se mueve a velocidad constante, v respecto a S, de manera que se cumplan los dos postulados. El punto de partida es que ambas referencias coinciden en el origen, cuando t=t′=0, que el movimiento relativo tiene lugar en una dirección determinada (la cual podemos arbitrariamente tomar como eje x), y que las transformaciones deben ser lineales (por homogeneidad del espacio y el tiempo).

Einstein consideró entonces la forma más general posible de la transformación, la cual contiene una constante, γ, que depende de v/c y que se determina imponiendo que la velocidad de la luz sea la misma en ambos sistemas. Es muy fácil ver que esto solo es posible si γ adquiere la forma típica de las ​transformaciones de Lorentz: γ = (1-v²/c²)^-1/2. Ello garantiza la invariancia de la velocidad de la luz y de las leyes de la física en todos los sistemas inerciales. Se observa enseguida que estas transformaciones difieren mucho de las de Galileo, cuando se consideran velocidades cercanas a la de la luz. Por el contrario, en el límite de velocidades pequeñas el acuerdo con la relatividad galileana es total.

Resumiendo, por lo que se refiere a los postulados, en su teoría especial de la relatividad, Einstein solo añadió, al principio de relatividad de Galileo, un segundo axioma, el que establece que la velocidad de la luz en el vacío es la misma para cualquier sistema de referencia inercial. Las consecuencias que se derivan de estos dos postulados, tan naturales y sencillos, son extraordinarias y muy difíciles de digerir por quienes nos movemos siempre a velocidades insignificantes, comparadas con la de la luz. Aparecen fenómenos del todo inverosímiles, como el hecho de que la simultaneidad de dos sucesos es relativa (al sistema de referencia), tienen lugar dilataciones en el tiempo, contracciones de la longitud, aparece una contribución relativista al efecto Doppler, y muchos otros fenómenos difíciles de comprender con la lógica habitual. 

Todos ellos son consecuencia inmediata de ambos postulados, y reflejan el hecho de que tanto el tiempo como el espacio han perdido su carácter absoluto, pasando a depender del sistema de referencia en que uno se sitúe. Cierto es que tales fenómenos se manifiestan tan solo cuando la velocidad a la que viaja un sistema respecto del otro es cercana a la de la luz, pero preciso es observar que esta condición ya se da hoy día en multitud de experimentos de laboratorio llevados a cabo con partículas elementales o muy pequeñas, en fotónica, y a muy diversos niveles cotidianos (pensemos en las omnipresentes señales GPS, que utilizamos a todas horas).

Einstein en caída libre

Einstein tuvo otro momento Eureka importantísimo. Fue la idea más genial que tuvo nunca, como él mismo explicó en un par de ocasiones. Ocurrió en 1907, mientras trabajaba en la Oficina Suiza de Patentes, en Berna. Había conseguido aquel trabajo gracias a su amigo Marcel Grossmann, y con él mejoraba sus empleos previos, como tutor en Winterthur, Schaffhausen y Berna, los únicos que había podido encontrar tras graduarse en 1900 por el Instituto Politécnico de Zúrich. Aquel fue su principal trabajo desde 1902 a 1909, y alguna vez confesó que le encantaba y que había sacado gran provecho de él, para dar forma a sus teorías. Entre patente y patente fueron surgiendo de su mente los brillantes artículos que publicó en 1905, año que se conoce como el annus mirabilis de Einstein. En su recuerdo, un siglo después, el año 2005 fue profusamente celebrado a nivel mundial como Año de la Física. 

Un día de 1907, mientras estaba sentado en su silla habitual, frente a su mesa de trabajo, Einstein se sobresaltó de repente cuando acudió a su mente el que calificó como pensamiento más afortunado de toda su vida (“ich kam auf den glücklichsten Gedanken meines Lebens”). Reflexionó qué sucedería si, en aquel preciso instante, estuviese cayendo en posición vertical desde el tejado de su casa. Razonó que, mientras cayese, no estaría sometido a campo gravitatorio alguno: caería libremente como si la gravedad en su entorno no existiese. Si, en aquel momento, sostuviese un objeto sobre la palma de la mano (una moneda, una manzana) y lo soltase, dándole vuelta a la mano, el objeto ¡no caería a sus pies! La manzana seguiría junto a su mano, sin separarse de ella. ¡No experimentaría ninguna gravedad!, según su percepción.  

En otras palabras, y usando un lenguaje más técnico, al dejarse caer Einstein se habría situado en un sistema acelerado (con la misma aceleración que la gravedad) y habría así eliminado, por completo, la fuerza gravitatoria en su entorno: los objetos que tuviese junto a él ya no caerían a sus pies. Según confesó más tarde, aquel fue el día en que se gestó su teoría general de la relatividad (TGR), completada en forma matemática en 1915, no sin arduos esfuerzos posteriores. La idea puede parecer banal, pero la esencia de la teoría está ya toda ahí. Como en los casos precedentes, es de pensamientos aparentemente banales de donde surgen las más grandiosas teorías.  

Y así fue también en esta ocasión: Einstein demostró que la masa y el campo gravitatorio pueden hacerse desaparecer por completo, siendo sustituidos por un simple movimiento acelerado; eso es, por la geometría, por la curvatura del espacio-tiempo. La teoría de la gravedad de Einstein es en sí una teoría del espacio-tiempo. Le costó aún varios años llegar hasta las ecuaciones de su TGR, pero la idea fundamental la tuvo en aquel preciso instante. La denominó el principio de equivalencia.

Recordando el momento Eureka

En una conferencia que impartió en la universidad de Kioto en 1922 (durante su celebrado viaje por el lejano oriente, Palestina y España) recordó así aquel momento Eureka: “… cuando una persona está en caída libre, no siente su propio peso. Me quedé muy asombrado. Este simple pensamiento causó una profunda impresión en mí. Y me condujo hasta una nueva teoría de la gravitación”. La idea que tuvo en la oficina de patentes en 1907 fue “la más feliz” de su vida. Con estas palabras lo había expresado también por escrito en 1920, en una reseña para la revista Nature; aunque al final no fue publicada, porque los editores la consideraron demasiado larga. 

En resumen: (a) la gravedad no es una fuerza en el sentido clásico, sino una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo causada por la presencia de masas y energías en el universo. (b) Pero, pese a ser una fuerza de naturaleza tan distinta, es equivalente a cualquier otra fuerza: la masa gravitatoria de un cuerpo, la que interviene en la fórmula de Newton de la atracción gravitatoria, es exactamente la misma que la que opone el cuerpo a ser acelerado (masa inerte) cuando se le aplica cualquier otra fuerza (segunda ley de Newton). Esto es precisamente lo que establece el principio de equivalencia de Einstein, fundamento de su TGR. Teoría que describe nuestro Universo con enorme precisión, siendo la base de toda la cosmología actual y habiendo sido corroborada en múltiples observaciones y experimentos.

Lo que distingue a un genio en su momento Eureka es que puede ver más allá de lo que le dictan sus ojos. No da nada por sabido, penetra hasta el trasfondo, hasta llegar a la propiedad escondida, a la ley fundamental, donde otros sólo aprecian los detalles irrelevantes y las discrepancias. Hay que añadir aquí, que uno de los conceptos más profundos de la física es la definición de masa, las m y M que, tan alegremente introdujimos en la fórmula de Newton. Para un bloque de piedra, madera o metal no hay demasiado problema en definirlas y establecer su equivalencia; pero sí que aparece cuando hablamos, por ejemplo, de la masa de una estrella de neutrones, o de un agujero negro, un quark o un electrón. Esto nos llevaría muy lejos; en particular, a tener que complementar el principio de equivalencia de Einstein con otros más actuales, como el débil y el fuerte. El experimento de Galileo de la Torre de Pisa (admitiendo que éste hubiese tenido lugar) puede ser considerado históricamente como pionero en esa dirección precisa.

El principio de equivalencia tiene múltiples aplicaciones prácticas: correcciones imprescindibles al sistema de posicionamiento global (GPS); en la medición ultra precisa del tiempo; en geodesia y cálculo de variaciones gravitacionales en la Tierra (para estudiar cambios en el nivel del mar, derretimiento de glaciares y variaciones en las aguas subterráneas); en experimentos de medicina, biología y física de materiales realizados en condiciones de microgravedad —en la Estación Espacial Internacional (ISS); en el estudio de agujeros negros y detección de ondas gravitacionales; o en los sistemas de navegación inercial en submarinos y aviones (que no usan GPS), por citar tan solo unos pocos ejemplos.  

De la ISS, como recinto en caída libre, podemos extraer todavía una última e importante lección. Nos conduce correctamente a entender, de manera cualitativa, las ecuaciones de Einstein de su TGR. Basta con observar, en primer lugar, que dentro de la ISS existe de hecho una fuerte componente de gravedad terrestre (el 97% de su valor a nivel del mar) y que, en este caso, la caída libre (ausencia de gravedad) se produce al curvarse la trayectoria (derivadas espaciales de orden dos); eso es, exactamente lo mismo que ocurre con un planeta en su órbita.

Esta situación es complementaria a la imaginada caída libre de Einstein desde el tejado de su casa, en que se tiene aceleración pura (derivada de orden dos respecto al tiempo). Juntando ambas descripciones, se obtienen ya las dos componentes del caso general de las ecuaciones de Einstein: a la izquierda aparecen las curvaturas y aceleraciones del sistema (componentes del tensor de curvatura espacio-tiempo, derivadas de segundo orden); a la derecha, todas las masas y energías (de cualquier tipo) del universo. La TGR establece la igualdad estricta de ambos términos: curvatura = energía. Y no hay más. Esta fue la exitosa implementación, a orden dos, del ambicioso principio de Ernst Mach, que el propio Einstein confesó (nada más terminar de escribir sus ecuaciones), que no había sido capaz de extender a orden tres y superiores (movimientos más generales, relatividad total).

Liese Meitner y la fisión nuclear: la entrada en una nueva era 

La consecuencia más extraordinaria, por muchas razones, que tuvo la teoría especial de la relatividad de Einstein fue la constatación de la equivalencia entre masa y energía, expresada de manera extremadamente simple por su famosísima fórmula: E=mc². Einstein tardó en escribirla así; no lo hizo aún en el trabajo de 1905 en que ya la enunció por primera vez, aunque solo implícitamente. Afirmó en él, con toda claridad, que las leyes de conservación de la energía y de conservación de la masa eran “una y la misma” .

Sin embargo, hay quienes consideran que esta fórmula, la más famosa que se haya escrito nunca, está sobrevalorada. Conceptualmente, es sin duda importantísima, establece un paradigma completamente nuevo en la Física. Pero no resulta muy útil, en la práctica, para diseñar los procesos de fisión nuclear, que hacen uso de ella. De hecho, lograrlo no fue ni mucho menos inmediato, puesto que requirió ímprobos esfuerzos adicionales por parte de un buen número de los mejores físicos de la época y recursos en principio ilimitados. 

Pero la fórmula de Einstein sí jugó un papel decisivo a la hora de discernir que la fisión nuclear se había llevado a cabo en el laboratorio, por vez primera en la historia. Este hecho se produjo de manera totalmente inesperada, y los autores del crucial experimento, Otto Hahn y Fritz Strassmann, no fueron en absoluto capaces de entender lo que habían hecho: bombardeando uranio con neutrones habían obtenido bario, cuando en realidad pretendían generar un elemento transuránico, más pesado. Resultó que, en total acuerdo con la fórmula de Einstein, la fisión del átomo de uranio había tenido lugar. Aquello abrió, súbitamente, la puerta de entrada a una nueva era en la historia de la humanidad. Existe un testimonio directo muy valioso de cómo ocurrieron los hechos. 

Una de las primeras mujeres en doctorarse en física

Lise Meitner (1878–1968) fue una física extraordinariamente brillante, aunque no tuvo una vida fácil. Nacida en Viena, fue una de las primeras mujeres en doctorarse en física en su famosa Universidad y la primera física en conseguir la habilitación (la venia docente, que la capacitaba para dar clases como profesora en la universidad) en toda Prusia. De allí se trasladó a Berlín, donde trabajó codo con codo junto al químico Otto Hahn (de su misma edad), durante más de treinta años. Aunque los reconocimientos profesionales que recibieron una y otro fueron muy distintos. Se especializaron en física nuclear y radiactividad, en plena era de importantísimos descubrimientos sobre el átomo.

Fue una época apasionante, y la física nuclear aún lo sigue siendo a día de hoy. En Roma, Enrico Fermi y su grupo habían bombardeado átomos de uranio con neutrones, concluyendo (erróneamente) que habían creado nuevos elementos con números atómicos superiores a 92 (elementos transuránicos). Siguiendo sus pasos, entre 1934 y 1938, Hahn, Meitner y Strassmann encontraron una gran cantidad de productos de transmutación radiactivos, que también consideraron nuevos elementos transuránicos (aunque más tarde se demostró que ninguno lo era). Fermi fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1938 por su descubrimiento, entre otras cosas, del elemento de número atómico 93 (que luego se vio que no era tal, como Bohr y otros ya sospechaban). De hecho, el neptunio, no fue producido hasta 1940, con el acelerador de partículas de Berkeley, por bombardeo con deuterones de alta energía. 

Meitner, de orígenes judíos, logró escapar de la Alemania nazi en julio de 1938, gracias a una complicada red de ayuda. En marzo, con la anexión de Austria por Alemania (Anschluss), había perdido su ciudadanía austríaca. Un primer intento que había hecho para establecerse en Copenhague había fracasado. Encontró refugio en Suecia, donde trabajó en condiciones más bien precarias en el Instituto Nobel, en Estocolmo. En años precedentes, Meitner había celebrado las Navidades en Berlín con su sobrino, el joven físico Otto Frisch. En 1938 ya no podía viajar a Alemania, y aceptó una invitación de Eva von Bahr para pasarlas con su familia en la pequeña ciudad de Kungälv, cerca de Gotemburgo. Un lugar idílico, rodeado de bosques, en la región de Gotalandia. Meitner pidió a Frisch que la acompañara allí aquel año.

Durante su estancia en Kungälv, Meitner recibió una carta de Otto Hahn, su colega y colaborador de décadas, que seguía trabajando en Berlín junto a Strassmann. Hahn le contaba que, al bombardear uranio con neutrones, habían obtenido bario como uno de los productos. Aquello no tenía sentido: no era un transuránico, sino un elemento mucho más ligero, y no sabían cómo era posible. Según se creía entonces, experimentos previos nunca habían separado más que protones o partículas alfa individuales, aparte de producir (supuestamente) elementos transuránicos. Nadie pensaba ni remotamente (salvo uno o dos colegas con gran imaginación), que fuese posible partir un núcleo atómico en dos, y mucho menos con neutrones de tan baja energía. Lo más verosímil era que se tratase de un error. Solicitaba de Meitner su opinión científica, aunque ya le advertía en la carta que en ningún caso podría incluirla como coautora, dado que la situación de ella en aquellos momentos era “políticamente complicada”.

Fisión atómica

Una idílica tarde de diciembre, Meitner y Frisch salieron a caminar por el bosque nevado. Y, tras comentar la carta y discutir su contenido a fondo, lograron descifrar el significado de los misteriosos resultados experimentales de sus colegas, usando como modelo de núcleo el de gota líquida, desarrollado por Bohr, Gamov y otros. Concluyeron que el núcleo de uranio, al absorber un neutrón, se habría tornado muy inestable hasta deformarse, alargándose más y más, hasta quedar finalmente dividido en dos partes. Bautizaron a su idea con el nombre de fisión atómica, término que Frisch tomó de la biología celular. Su descubrimiento lo publicaron en la revista Nature, pocos meses más tarde.

A fin de cuantificar energéticamente el proceso, utilizaron la ecuación de Einstein, que dictaba de donde podía salir la energía necesaria para vencer una fuerza tan extraordinaria como la tensión superficial, que mantiene al núcleo unido, para permitir que los dos lóbulos de fisión se separaran lo suficiente; hasta dar lugar a una configuración a partir de la cual la repulsión de sus cargas positivas podría forzar la escisión total, al ser ya energéticamente favorable. Utilizando la fracción de empaquetamiento, o valor de energía de unión nuclear por nucleón, junto con la fórmula E=mc², supieron, de pronto, que el proceso básico de fisión “era de hecho energéticamente posible”, ya que durante el mismo se habría ‘esfumado’ una pequeña masa. Explicaron por completo los resultados de Hahn y Strassmann: además de bario tenían que haber obtenido kriptón y dos o tres neutrones. Tal como Frisch lo describió, aquel fue un momento Eureka alucinante: 

“¿Podía haber un error en los resultados de Hahn? Muy improbable, pues él era un químico excelente. Pero, hasta entonces nadie había podido extraer nada más que protones o, a lo sumo, núcleos de helio, al bombardear núcleos de uranio... ¿Cómo podía ser que el núcleo se hubiera partido en dos? Caminamos arriba y abajo por la nieve, yo con esquís y Lise a pie... y poco a poco la idea fue tomando forma concreta... basada en la concepción que tenía Bohr del núcleo como una gota líquida... En ese punto, nos sentamos en el tronco de un árbol caído y empezamos a calcular, sobre pedazos de papel... el núcleo de uranio podría llegar a convertirse en una gota muy inestable, lista para dividirse... Pero... cuando se empezaran a definir claramente los dos lóbulos, éstos acabarían de separarse del todo por repulsión eléctrica, proceso que requeriría el equivalente (en energía) de 200 MeV, en total. Por suerte, Lise recordó de memoria cómo se calculaban las masas de los núcleos... y descubrió enseguida que, sumando las masas de los dos núcleos producidos, bario y kriptón, daba un valor inferior a la masa del de uranio, en aproximadamente una quinta parte de la masa de un protón. Ahora bien, cada vez que la masa desaparece, se crea energía, de acuerdo con la fórmula de Einstein E=mc², y... ¡la pérdida de masa resultaba en este caso equivalente a 200 MeV! ¡Todo encajaba increíblemente bien!”

¡La fisión del núcleo atómico había tenido lugar! El uranio se había partido en dos núcleos más pequeños y se había liberado energía, en perfecto acuerdo con la fórmula de Einstein. Mientras que la pérdida de masa era ridículamente pequeña, la energía liberada era muy considerablemente mayor. La reacción que muy probablemente había ocurrido era:  ₉₂U²³⁵ + n → ₉₂U²³⁶(inestable) → ₅₆Ba¹⁴⁴ + ₃₆Kr⁸⁹ + 2 n.   Se dieron cuenta, además, de un detalle importantísimo: cada fisión liberaba dos o tres neutrones (había más de una posibilidad de fragmentación), que podrían seguir provocando más fisiones. Y aquello era la base para una reacción en cadena, de consecuencias que podrían ser catastróficas, si no se controlaba. El famoso paseo de Lise Meitner y Otto Frisch en diciembre de 1938, en que comprendieron teóricamente la fisión nuclear, es considerado ahora como un momento singular donde la ciencia, la historia y el futuro se entrelazaron armónicamente, de manera casi poética. Pero la conclusión resultaba estremecedora.

El descubrimiento explicó además los resultados obtenidos por Fermi y su grupo desde 1934: la mayoría de las vidas medias desconocidas que habían observado se identificaron entonces como de productos de fisión. Fermi se dio cuenta, de pronto, de que realmente habían provocado ya fisión del núcleo de uranio, antes que Hahn, pero no la habían reconocido como tal, empecinados como estaban todos en obtener transuránicos. Aunque cierto es que algún colega, como Ida Noddak en 1934, ya había especulado con dicha posibilidad. 

De regreso a Copenhague, tras sus vacaciones, Frisch explicó su hallazgo a Niels Bohr, y este, consciente de su capital importancia, no tardó en comentarlo a sus colegas norteamericanos. Cronológicamente, los hechos se sucedieron a velocidad vertiginosa, durante las primeras semanas de 1939. El 10 de enero, Hahn y Strassmann publicaron su artículo experimental (sin mencionar a Meitner). El 11 de enero, Frisch telefonea a Bohr en Copenhague para contarle la teoría de la fisión. El 13 de enero, Bohr parte para EE. UU., donde anuncia el importantísimo descubrimiento en una conferencia en Princeton. El 11 de febrero, Meitner y Frisch publican su artículo en la revista Nature, explicando teóricamente con detalle la fisión nuclear y acuñando dicho término. Cuando Einstein se enteró de que su fórmula había resultado crucial para identificar la fisión, que esta se había llevado a cabo de acuerdo con la misma, y que podía acarrear terribles consecuencias, exclamó: ¡Ay de mí! (lo dijo en yiddish, “Vey iz mir”), desde el fondo de su alma.

El descubrimiento de la fisión hizo que el desarrollo de una bomba atómica fuese súbitamente una posibilidad real. El gran temor era que los alemanes pudiesen ser los primeros en producirla. En junio de 1939, en el Reino Unido, Frisch y Rudolf Peierls habían ya realizado avances significativos en la investigación de la masa crítica necesaria de uranio-235. Recordemos que la masa crítica es la masa mínima imprescindible para que se produzca una reacción en cadena sin fin: los neutrones liberados fisionan otros núcleos de uranio y el efecto se propaga exponencialmente, sin control. Si la masa es inferior a la crítica y se inicia el proceso de fisión (por bombardeo con neutrones), este puede mantenerse durante un tiempo, pero al final se apaga. Sus cálculos indicaban que esta estaría dentro del orden de magnitud de los 10 kg de uranio, por lo que la bomba podría llevarla cómodamente un bombardero. En agosto de 1939, Leó Szilárd y Eugene Wigner redactaron la famosa carta Einstein-Szilárd, en la que advertían sobre la posibilidad que se había abierto de construir “bombas de una nueva clase, extremadamente poderosas”. En ella urgían a los Estados Unidos a tomar medidas para adquirir reservas de mineral de uranio y a acelerar las investigaciones de Fermi y otros científicos sobre las reacciones nucleares en cadena. Einstein firmó la carta, dirigida al presidente Roosevelt. 

En marzo de 1940, el memorándum Frisch-Peierls dio inició el proyecto atómico británico y su comité MAUD recomendó iniciar el desarrollo de una bomba atómica. En julio, el Reino Unido ofreció a EE. UU. el acceso a los resultados de sus investigaciones. En octubre de 1941, Roosevelt aprobó el programa atómico. Seleccionó al ejército para dirigirlo y se acordó coordinar los trabajos con los británicos. Eventualmente, el proyecto Manhattan fue puesto en marcha, con éxito. Las bombas atómicas, Little Boy y Fat Man, lanzadas sobre Hiroshima y Nagasaki en agosto de 1945, contenían 63 kg de uranio-235 y 6 kg de plutonio-239, respectivamente. Cada una medía unos tres metros y pesaba en total unas 4,5 toneladas. El lanzamiento de aquellas primeras bombas significó para la humanidad el comienzo de una nueva era, con consecuencias inmediatas horribles y un futuro incierto, en que la propia supervivencia de nuestra especie está permanentemente amenazada. 

En 1944, Otto Hahn recibió el Premio Nobel de Química (en solitario) por el descubrimiento de la fisión nuclear. Lise Meitner no fue siquiera mencionada, pese a su crucial contribución teórica que muchos científicos, Bohr y Einstein, entre ellos, reconocieron como indispensable. En 1997, el elemento Meitnerio (Mt) fue denominado en su honor. Es muy célebre su frase: “Los científicos no debemos ser culpados por el uso que los profesionales de la guerra hayan hecho de nuestros descubrimientos.”

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