El trabajo de Deng, Hani y Ma sigue el esquema conceptual que Hilbert imaginó. El primer paso es partir de las leyes de Newton (¿las conoces?), que describen el movimiento de partículas individuales, como pequeñas esferas que chocan entre sí de manera elástica. En un nivel intermedio, conocido como mesoscópico, se utiliza la teoría cinética de Boltzmann para describir el comportamiento estadístico de esas partículas. Finalmente, en el nivel macroscópico, surgen las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes, que modelan los fluidos como medios continuos.
Lo novedoso del artículo radica en que han conseguido unir estos tres niveles de forma rigurosa. Según los autores, "en este artículo derivamos rigurosamente las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos, como las ecuaciones de Euler compresibles y de Navier-Stokes-Fourier incompresibles, partiendo de sistemas de partículas duros que sufren colisiones elásticas". Esta afirmación, cuidadosamente redactada, representa un logro técnico impresionante que refuerza la conexión entre el mundo microscópico de las partículas y las leyes continuas que gobiernan fenómenos como el viento, las corrientes oceánicas o el vuelo de un avión.
En su enfoque, los matemáticos han trabajado sobre un espacio periódico (un toro bidimensional o tridimensional), que imita las condiciones de sistemas cerrados y permite tratar los problemas de frontera de manera más manejable.
Un logro basado en superar los límites del tiempo
Uno de los grandes obstáculos históricos para resolver este problema era el tiempo. Hasta ahora, los resultados existentes solo podían justificar el paso de Newton a Boltzmann durante intervalos muy cortos, en los que el sistema de partículas no se había mezclado ni complicado demasiado.
Deng, Hani y Ma superaron esta limitación logrando extender su análisis a tiempos arbitrariamente largos. Esto era esencial para dar validez a la derivación completa de las ecuaciones de fluidos, ya que en la práctica, los fluidos evolucionan durante tiempos que no tienen límites fijos. En su paper, explican que "el principal obstáculo ha sido obtener derivaciones válidas a largo plazo de la ecuación de Boltzmann, algo que ahora hemos logrado".
Para conseguirlo, desarrollaron un control muy fino sobre las historias de colisiones entre partículas. No se trata solo de seguir una o dos colisiones, sino de controlar matemáticamente millones de interacciones sucesivas, asegurando que las desviaciones estadísticamente significativas sigan siendo pequeñas.
Este avance permitió conectar de manera fluida el comportamiento de partículas individuales con el comportamiento colectivo descrito por las ecuaciones macroscópicas.
La importancia de unir tres escalas diferentes
El logro de los investigadores no reside en descubrir nuevas ecuaciones, sino en demostrar que las leyes existentes son coherentes desde la escala microscópica hasta la macroscópica. Esto proporciona una validación muy poderosa a los modelos que usamos en física aplicada y en ingeniería.
En particular, han demostrado que la ecuación de Boltzmann se puede derivar rigurosamente a partir de la mecánica de Newton para un número muy grande de partículas, y que las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes pueden derivarse a su vez de la ecuación de Boltzmann, siguiendo el límite adecuado cuando el número de partículas tiende a infinito y su tamaño tiende a cero.
La conexión entre estos tres niveles era un objetivo central del programa de Hilbert. Con esta demostración, se da un paso crucial hacia la idea de una física completamente axiomatizada, donde no haya saltos conceptuales entre escalas, sino transiciones matemáticamente justificadas.
Además, este trabajo podría inspirar avances en otros campos donde también se buscan conexiones entre niveles de descripción, como en la física de plasmas o en la mecánica cuántica de muchos cuerpos.
¿Qué queda por resolver?
Aunque el avance es enorme, no significa que el sexto problema de Hilbert esté completamente cerrado. El reto global de axiomatizar toda la física sigue en pie. La resolución que presentan Deng, Hani y Ma se refiere específicamente a los fluidos y a un tipo concreto de partículas (esferas duras que chocan elásticamente).
Otros sistemas físicos, como los plasmas cargados, los materiales cuánticos o la relatividad general, plantean desafíos adicionales. Además, aún es necesario que otros matemáticos revisen y validen en profundidad la demostración propuesta para asegurar su solidez total.
Sin embargo, incluso si surgen correcciones o matices, este avance ya representa un punto de inflexión. En palabras del propio paper, "unimos las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos mediante la teoría cinética de Boltzmann, completando así el programa original de Hilbert en este contexto".
En definitiva, el sueño de Hilbert, largamente perseguido durante más de un siglo, parece más cerca que nunca de hacerse realidad.
Referencias
- Yu Deng, Zaher Hani, Xiao Ma, Hilbert’s Sixth Problem: Derivation of Fluid Equations via Boltzmann’s Kinetic Theory, arXiv preprint, 2025. https://doi.org/10.48550/arXiv.2503.01800.
